PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ.
I. Lý do chọn đề tài
1. Lý do khách quan
Toán học là một bộ phận khoa học kỹ thuật cao nhất đồng thời là chìa khóa
mở cửa tạo nền cho các ngành khoa học khác. Là bộ môn chiếm ưu thế quan
trọng trong giáo dục, vì thế chất lượng dạy và học Toán được nâng cao thì sẽ
đồng nghĩa với việc tiếp cận nền kinh tế tri thức khoa học hiện đại, đặc biệt là
dạy học đòi hỏi ở người thầy giáo một kĩ năng lao động nghệ thuật sáng tạo, tạo
ra những phương pháp để dạy các em học sinh và giải các bài toán cũng là
nhiệm vụ trung tâm của người thầy dạy Toán.
Để đáp ứng với luật giáo dục phổ thông về đổi mới phương pháp dạy - học.
Giáo viên cần phải rèn luyện cho học sinh biết cách tự nghiên cứu sách giáo
khoa và các tài liệu khác có liên quan, cách học, phương pháp học, đặc biệt hơn
nữa là phương pháp tự học để học sinh chủ động lĩnh hội kiến thức trong quá
trình học tập. Tự học là điều kiện cần và đủ để tăng cường sự hiểu biết, rèn
luyện kĩ năng, tu dưỡng đạo đức của mỗi người.
Trong chương trình Toán ở cấpTrung học cơ sở với lượng kiến thức lớn, yêu
cầu học sinh cần phải ghi nhớ, trong chương trình Đại số lớp 8 thì chương I:
“Phép nhân và phép chia các đa thức” trong đó có các bài: “Phân tích đa thức
thành nhân tử”. Với tất cả 4 tiết lí thuyết và 2 tiết luyện tập thì học sinh phần
nào đã hiểu và nắm được những kiến thức cơ bản về một số phương pháp phân
tích đa thức thành nhân tử, học sinh khi giải dạng toán phân tích đa thức thành
nhân tử cần phải nắm chắc kiến thức cơ bản và hiểu sâu để sau này vận dụng
vào các kiến thức có liên quan, biết vận dụng hợp lí với từng dạng bài tập, từ đó
hình thành kĩ năng và là cơ sở nắm bắt được các kiến thức nâng cao hơn, để thu
gọn phân thức và quy đồng mẫu thức,...Do đó mức độ kiến thức mà các em đạt
được chưa thể nói là thỏa mãn các yêu cầu người dạy và người học Toán.
2. Lí do chủ quan.
Chương trình Đại số lớp 8, dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử là một
phần quan trọng cả về mặt kiến thức lẫn kĩ năng thực hiện. Việc áp dụng của
dạng toán này rất phong phú, đa dạng và có nhiều lợi ích cho việc học sau này
như dạng bài toán: Tìm x, tính giá trị của biểu thức, rút gọn biểu thức, tính
nhanh, giải phương trình, quy đồng mẫu thức nhiều phân thức, rút gọn phân thức
và xa hơn nữa là các dạng toán như: Tìm cực trị, chứng minh chia hết, bất
phương trình bậc cao đặc biệt…Tuy vậy, trong việc truyền đạt kiến thức cho các
em và qua những giờ giảng dạy trên lớp, kiểm tra bài tập về nhà…việc phân tích
đa thức thành nhân tử là không khó nhưng vẫn nhiều học sinh làm sai hoặc chưa
1/17

thực hiện được hoặc ngộ nhận nhân tử chung ngay bước đầu xong rồi phép toán
dừng lại không tiếp tục được nữa, hoặc chưa thực hiện được, chưa nắm chắc
được các phương pháp giải, chưa vận dụng kĩ năng biến đổi một cách linh hoạt,
sáng tạo vào từng bài cụ thể. Tôi nhận thấy một điều, có những kĩ năng giải toán
mà học sinh rất dễ bị ngộ nhận và mắc sai lầm trong khi giải (kể cả học sinh
giỏi). Đối với học sinh yếu, kém học chống đối khi giáo viên cho bài tập về nhà
thì sử dụng sách bài tập chép đủ số lượng bài yêu cầu của giáo viên nhưng
không hiểu,...Do đó trong quá trình dạy dạng bài này tôi đã tìm ra một số
nguyên nhân, rồi từ đó có những biện pháp để hạn chế và chấm rứt những sai
lầm mà học sinh hay mắc phải, hướng dẫn học sinh cách sử dụng sách tham
khảo như thế nào cho có hiệu quả và chất lượng.
Chính vì lí do đó tôi đã lựa chọn nghiên cứu đề tài: “Hướng dẫn học sinh
kĩ năng dùng một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử áp dụng
giải bài tập” nhằm cung cấp cho học sinh phương pháp học và làm toán, nắm
được kiến thức cơ bản, cách tư duy và sử dụng linh hoạt phương pháp phân tích
đa thức thành nhân tử vào giải toán. Từ đó tạo nên điều kiện để học sinh học tốt,
lĩnh hội tốt những kiến thức liên quan sau này.
II. Mục đích nghiên cứu:
+) Nghiên cứu thực trạng việc dạy và học môn Toán và sửa chữa sai lầm cho
học sinh, phân dạng bài tập trong giờ luyện tập và giờ học bồi dưỡng, học thêm
trong nhà trường về phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.
+) Nghiên cứu để đưa ra những đề xuất, giải pháp dạy học nhằm đạt hiệu quả tốt
hơn khi dạy phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử trong chương trình
Đại số 8.
+) Giúp học sinh rút ra phương pháp tổng quát vận dụng vào các bài tập cơ bản,
từ đó vận dụng linh hoạt các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để
giải bài tập nâng cao.
III. Nhiệm vụ nghiên cứu:
1. Cơ sở lí luận.
Nghiên cứu, xác định nội dung, phương pháp mức độ yêu cầu của giờ luyện
tập, giờ học bồi dưỡng, giờ học thêm để học sinh phân tích đa thức thành nhân
tử một cách chính xác, nhanh chóng và đạt hiệu quả. Để đạt được điều này đòi
hỏi giáo viên cần xây dựng cho học sinh những kĩ năng như: quan sát, nhận xét,
kĩ năng giải toán, kĩ năng vận dụng bài toán, tùy theo từng đối tượng học sinh
mà giáo viên khai thác cách giải bài toán phù hợp trên cơ sở các phương pháp đã
học và các cách giải khác để gây hứng thú cho học sinh tìm tòi học hỏi.
Nghiên cứu sách giáo khoa, sách bài tập, sách cơ bản và nâng cao, sách đổi
2/17

mới phương pháp dạy học Toán, sách bồi dưỡng học sinh giỏi Toán,…
2. Cơ sở thực tiễn.
- Tìm hiểu qua giảng dạy thực tế trên lớp, dự giờ, thăm lớp, nghiên cứu giáo án,
kiểm tra đánh giá kết quả nhận thức của học sinh qua các buổi học chính khóa,
bồi dưỡng, học thêm. Đa số các em sử dụng các lọai sách bài tập có đáp án để
tham khảo hoặc sách giải bài tập, do đó khi làm bài tập trên lớp hoặc giờ kiểm
tra các em không được sử dụng sách hướng dẫn hoặc sách giải, các em thường
lúng túng thụ động kiến thức chưa tìm được lời giải thích hợp khoa học, không
biết áp dụng phương pháp nào trước phương pháp nào sau, phương pháp giải
nào phù hợp nhất, hướng giải nào tốt nhất,...
- Tôi dạy thực nghiệm, đối chứng, kiểm tra kết quả và rút ra kết luận, đề xuất
phương pháp giảng dạy về những sai lầm ngộ nhận khi làm Toán của học sinh,
thầy và trò giải đáp những nhu cầu học hỏi và khắc sâu kiến thức cho học sinh.
IV. Đối tượng nghiên cứu:
Nghiên cứu việc dạy và học một số phương pháp phân tích đa thức thành
nhân tử đối với học sinh lớp 8A, 8G trường THCS Tản Lĩnh, Ba Vì, Hà Nội.
V. Kế hoạch nghiên cứu.
1. Không gian: Trường THCS tản Lĩnh - Ba Vì - Hà Nội.
2. Thời gian: Đề tài này tôi đã quan tâm nghiên cứu nhiều năm, đặc biệt trong
hai năm học: Năm học 2020- 2021 và năm học 2021- 2022.
3. Phạm vi nghiên cứu: Chủ đề “Một số phương pháp phân tích đa thức
thành nhân tử ”
Đối với học sinh trung bình, yếu, kém tôi hướng dẫn các em nghiên cứu các
phương pháp mà sách giáo khoa hiện hành đề cập tới: Phương pháp đặt nhân tử
chung; phương pháp dùng hằng đẳng thức; phương pháp nhóm hạng tử; phối
hợp nhiều phương pháp; phương pháp tách một hạng; phương pháp thêm và bớt
cùng một số hạng.
Đối với học sinh khá, giỏi tôi hướng dẫn các em khai thác thêm một số
phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giờ luyện tập, giờ học thêm,
học bồi dưỡng như: Phương pháp đổi biến (phương pháp đặt biến phụ); phương
pháp hệ số bất định; phương pháp xét giá trị riêng.

3/17

PHẦN II. NỘI DUNG
Chương I: Thực trạng vấn đề nghiên cứu.
I. Một số nguyên nhân chính.
1. Nguyên nhân từ phía học sinh:
- Qua quá trình giảng dạy, tôi nhận thấy rằng một số học sinh vào lớp chưa chú
ý chuyên tâm vào việc học, chuẩn bị bài và làm bài tập chưa đầy đủ, thường
xuyên để quên vở bài tập ở nhà, thậm trí không ghi đủ bài. Còn một bộ phận nhỏ
thì các em không xác định được mục đích của việc học. Các em chỉ đợi đến khi
lên lớp, nghe thầy cô giảng bài rồi ghi vào những nội dung đã học sau đó về nhà
lấy vở ra “học vẹt” mà không hiểu được nội dung đó nói lên điều gì. Chưa có
phương pháp và động cơ học tập đúng đắn.
- Khi kiểm tra các em về lý thuyết và hướng dẫn giải các ví dụ thì có vẻ như rất
hiểu bài nhưng khi yêu cầu các em làm thêm phần bài tập vận dụng thì lại lúng
túng và khó khăn để trình bày.
- Học sinh bị hổng kiến thức từ lớp dưới.
2. Nguyên nhân từ giáo viên:
- Việc dạy học còn dàn trải, chưa phân dạng và chưa đưa ra phương pháp giải
cho mỗi dạng.
- Tốc độ giảng dạy kiến thức mới và luyện tập nhanh khiến cho học sinh yếu
kém không theo kịp bài học.
- Chưa đổi mới phương pháp để gây hứng thú khi học bài.
3. Nguyên nhân từ phía các vị phụ huynh:
- Một số phụ huynh học sinh thiếu quan tâm đến việc học tập ở nhà của con em.
Phó mặc mọi việc học cho nhà trường và thầy cô.
- Một số phụ huynh quá nuông chiều con cái, quá tin tưởng vào con nên học
sinh lười học xin nghỉ để làm việc riêng (như đi chơi, giả bệnh,...) cha mẹ cũng
đồng ý cho phép nghỉ học, vô tình là đồng phạm góp phần làm học sinh lười
học, mất dần căn bản...và rồi yếu kém!
Trên đây là một số nguyên nhân dẫn đến tình trạng học sinh yếu kém mà bản
thân tôi nhận thấy trong quá trình công tác.
Kiến thức luôn cần có sự xuyên suốt. Do mất căn bản học sinh khó mà có nền
tảng vững chắc để tiếp thu kiến thức mới.
Từ những thực trạng trên, chủ yếu từ phía học sinh: Không tìm ra lời giải,
chưa chịu khó suy nghĩ, chứng tỏ kiến thức còn mang tính nhồi nhét thụ động,
đứng trước một bài toán tự mình giải còn chưa có niềm tin,… Bên cạnh đó một
số học sinh còn có tâm lí chán nản và tỏ ra sợ môn Toán, đó cũng là những chăn
4/17

chở đối với bản thân cá nhân tôi, trong qúa trình giảng dạy tôi cố gắng làm sao
để các em học sinh ngày thêm yêu thích môn Toán hơn, hình thành cho học sinh
kĩ năng giải Toán, tạo điều kiện giúp các em tiếp thu bài một cách chủ động,
sáng tạo và tránh sai sót, có hứng thú khi học môn Toán.
II. Những giải pháp thực hiện:
1. Giải pháp chung cho các đối tượng học sinh.
- Sắp xếp bài Toán cơ bản theo mức độ nhận thức của từng đối tượng học sinh.
- Xây dựng các phương pháp giải cơ bản về phân tích đa thức thành nhân tử.
- Chia từng dạng cơ bản và đưa ra phương pháp giải đối với từng dạng, yêu cầu
học sinh hoạt động theo nhóm tìm các bài tập tương ứng cho từng dạng rồi giải
các bài tập đó.
- Hướng dẫn học sinh làm bài tập về nhà và nghiên cứu trước bài mới.
- Chữa các sai lầm thường gặp cho học sinh trong giải toán (sai lầm khi đặt nhân
tử chung, nhóm các hạng tử chưa hợp lí, sai dấu,…)
- Củng cố các phép biến đổi cơ bản và hoàn thiện các kĩ năng thực hành.
- Tìm tòi những cách giải hay, khai thác bài toán.
- Giới thiệu thêm một vài phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. (thời
gian để vận dụng, phát triển và nâng cao dạng toán mở rộng vào các buổi học
thêm, học bồi dưỡng).
2. Đối với học sinh trung bình, yếu, kém.
Củng cố các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử cơ bản của SGK
trong giờ luyện tập: Đặt nhân tử chung; phương pháp dùng hằng đẳng thức;
phương pháp nhóm nhiều hạng tử; phối hợp nhiều phương pháp.
Dạy vào buổi dạy thêm: Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử.
Phương pháp thêm và bớt cùng một hạng tử.
3. Đối với học sinh khá, giỏi.
Vận dụng, phân tích kĩ năng và bài tập phát triển tư duy các phương pháp cơ
bản theo chương trình sách giáo khoa hiện hành và mở rộng thêm một số
phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử: Phương pháp tách một số hạng
thành nhiều số hạng khác; phương pháp thêm và bớt cùng một số hạng; phương
pháp đổi biến; phương pháp hệ số bất định; phương pháp xét giá trị riêng.
Chương II. Biện pháp cụ thể
I. Xây dựng chủ đề phân tích đa thức thành nhân tử theo sách giáo khoa
Toán 8 (thời lượng: 4 tiết lý thuyết; 2 tiết luyện tập). Cần đạt:
1. Mục tiêu:
- Học sinh hiểu thế nào là phân tích đa thức thành nhân tử.
5/17

- Học sinh hiểu kiến thức về phân tích đa thức thành nhân tử bằng các phương
pháp: Đặt nhân tử chung; Dùng hằng đẳng thức; Nhóm các hạng tử; Phối hợp
nhiều phương pháp.
- Học sinh biết vận dụng linh hoạt các phương pháp phân tích một đa thức thành
nhân tử.
- Học sinh giải thành thạo bài tập phân tích đa thức thành nhân tử.
- Giáo viên hướng dẫn cho học sinh thêm một số phương pháp phân tích cơ bản:
Tách một hạng tử và thêm bớt một hạng tử.
2. Kĩ năng:
- Rèn luyện kĩ năng tính toán. Vận dụng linh hoạt các phương pháp phân tích
linh hoạt vào giải toán.
- Rèn luyện tính năng động trong hoạt động thảo luận nhóm, vận dụng kiến thức
đã học vào thực tiễn, tình huống cụ thể.
- Rèn luyện tính cẩn thận, chính xác.
3. Thái độ:
- Tích cực, hăng hái, chủ động trong học tập.
- Tư duy: Phát triển tư duy logic.
- Trung thực, cẩn thận, nghiêm túc, tự giác và hứng thú học tập.
- Cẩn thận trong quá trình trình bày, yêu thích môn học.
4. Định hướng năng lực, phẩm chất.
- Năng lực: Tính toán, tự học, giải quyết vấn đề, hợp tác.
- Phẩm chất: Tự chủ, tự tin, chủ động, yêu khoa học, hợp tác nhóm, tự nghiên
cứu bài.
5. Trọng tâm.
- Học sinh hiểu thế nào là phân tích đa thức thành nhân tử.
- Học sinh biết vận dụng linh hoạt các phương pháp phân tích một đa thức thành
nhân tử và giải thành thạo bài tập phân tích đa thức thành nhân tử.
II. Hướng dẫn học sinh nghiên cứu chủ đề.
1) Phạm vi nghiên cứu chủ đề và cách tiến hành.
- Phạm vi nghiên cứu: Kế hoạch giáo dục Đại số lớp 8 từ tiết 9 đến hết tiết 14
- Cách tiến hành:
+ Toàn bộ nội dung chủ đề được giao cho học sinh học tập nghiên cứu trước ở
nhà. Hôm sau, ở lớp giáo viên tổ chức các hoạt động để học sinh trình bày
những phần đã tìm hiểu được và cùng nhau trao đổi.
Chẳng hạn chủ đề: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
Hướng dẫn trước tiết học chủ đề: Đọc sách giáo khoa, tham khảo tìm hiểu thêm
một số một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.
6/17

Bước 1: Thảo luận nhóm 4 – 6 học sinh (10 phút) tìm phương pháp phân tích đa
thức thành nhân tử.
Bước 2: Sử dụng kỹ thuật “mảnh ghép” tạo nhóm mới, di chuyển theo sơ đồ
trạm để tham quan “phòng tranh” và nghe thuyết trình.
Bước 3: Các nhóm cử nhóm trình bày ấn tượng nhất trình bày trước lớp. Các
nhóm còn lại đóng vai trò khán giả và có quyền tranh biện, phản biện
Bước 4: Giáo viên chốt kiến thức bài học.
+ Phân dạng; phân tích ví dụ từng dạng; đưa ra phương pháp giải từng dạng; bài
tập vận dụng; bài tập nâng cao.
2) Câu hỏi yêu cầu học sinh đọc và nghiên cứu trước chủ đề:
Sau khi học chủ đề “Phân tích đa thức thành nhân tử”(theo kế hoạch giáo
dục), tiếp nối chương trình tôi xây dựng chủ đề “ Phép nhân đa thức” vào buổi
học thêm, trong đó có 2 buổi ôn luyện kiến thức“ Phân tích đa thức thành nhân
tử”, tôi yêu cầu học sinh trả lời 6 câu hỏi để tiếp tục vào nội dung ôn tập ở buổi
học thêm bằng kỹ thuật các mảnh ghép  
 Cách tiến hành:              
Vòng 1: Nhóm chuyên gia
Lớp học sẽ được chia thành các nhóm (khoảng từ 3- 6 người). Mỗi nhóm
được giao một nhiệm vụ với những nội dung học tập khác nhau. Ví dụ:
+ Nhóm 1: Tính nhanh giá trị biểu thức.
a) 85.12,7 + 15. 12,7;
b) 52.143 – 52.39 – 8.26
+ Nhóm 2: Thế nào là phân tích đa thức thành nhân tử?
+ Nhóm 3: Trong chủ đề này em tìm hiểu được mấy phương pháp phân tích đa
thức thành nhân tử? Đó là những phương pháp nào? Vận dụng các quy tắc nào
để phân tích được các pháp phân tích đó? Nên phối hợp các phương pháp đó
như thế nào?
+ Nhóm 4: Nêu cách tìm nhân tử chung; cách sử dụng hằng đẳng thức; cách
nhóm các hạng tử; cách phối hợp các phương pháp?
+ Nhóm 5: Khi phân tích đa thức thành nhân tử phải đạt yêu cầu gì?
+ Giáo viên yêu cầu: Mỗi nhóm hãy phân dạng bài tập và giải các bài tập đó.
- Lưu ý: Mỗi cá nhân làm việc độc lập trong khoảng vài phút, suy nghĩ về câu
hỏi, và ghi lại những ý kiến của mình. Khi thảo luận nhóm phải đảm bảo mỗi
thành viên trong từng nhóm đều trả lời được tất cả các câu hỏi trong nhiệm vụ
được giao và trở thành chuyên gia của lĩnh vực đã tìm hiểu và có khả năng trình
bày lại câu trả lời của nhóm ở vòng 2.
Vòng 2: Nhóm mảnh ghép
Hình thành nhóm mới khoảng từ 3 - 6 học sinh (mỗi nhóm ở vòng 1 chọn 1
học sinh) gọi là nhóm mảnh ghép.
7/17

Các câu hỏi và câu trả lời của vòng 1 được các thành viên trong nhóm mới
chia sẻ đầy đủ với nhau.
Khi mọi thành viên trong nhóm mới đều hiểu được tất cả nội dung ở vòng 1
thì nhiệm vụ mới sẽ được giao cho các nhóm để giải quyết (lưu ý nhiệm vụ mới
này phải gắn liền với kiến thức thu được ở vòng 1)
Các nhóm mới thực hiện nhiệm vụ trình bày và chia sẻ kết quả.
3) Một số phương pháp giải bài “ Phân tích đa thức thành nhân tử”
3.1. Phương pháp đặt nhân tử chung.
Phương pháp giải: Cách tìm nhân tử chung đối với các đa thức có hệ số nguyên.
- Hệ số của nhân tử chung chính là ƯCLN của các hệ số nguyên dương của các
hạng tử.
- Lũy thừa bằng chữ của nhân tử chung phải là lũy thừa có mặt trong tất cả các
hạng tử của đa thức, với số mũ là số mũ nhỏ nhất của nó trong các hạng tử.
- Tổng quát: AB + AC + AD = A (B + C + D)
- Giáo viên lưu ý một số lỗi học sinh thường mắc phải: dấu hạng tử; nhóm chưa
hợp lí dẫn đến phép toán không tiếp tục phân tích được nữa; phân tích chưa triệt
để.
- Chú ý: Nhiều khi để làm xuất hiện nhân tử chung ta cần đổi dấu các hạng tử
(lưu ý với tính chất: A = - (-A)).
3.2. Phương pháp dùng hằng đẳng thức.
Phương pháp giải: Sử dụng bảy hằng đẳng thức đáng nhớ (áp dụng cho tất cả
các đối tượng học sinh). Trong phương pháp này học sinh thường gặp khó khăn:
biến đổi vế trái sang vế phải của hằng đẳng thức thì thuận hơn, nhưng khi biến
đổi ngược lại thì lại bỡ ngỡ,.... (Cần nhắc lại 7 hằng đẳng thức đáng nhớ và mở
rộng thêm một số hằng đẳng thức tổng quát).
Trong các buổi bồi dưỡng học sinh giỏi, tôi đã hướng dẫn các em phân tích
đa thức thành nhân tử với các đa thức bậc cao, hướng dẫn các em khai triển
theo: Một số hằng đẳng thức tổng quát (Dành cho học sinh khá, giỏi)
1. (a + b + c )2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
2. an – bn = (a- b)(an-1 + an-2b + an-3b2… + abn-2 + bn-1) với mọi số nguyên
dương n.
3. an + bn = (a + b )(an-1 – an-2b + an-3b2 - … - abn-2 + bn-1) với mọi số lẻ n.
4. (a + b)n = an + nan-1b +
5. (a - b)n = an - nan-1b +

an-2b2+…+
an-2b2- …-

8/17

a2bn-2 +nabn-1 + bn
a2bn-2 +nabn-1 - bn

Hoặc giới thiệu tam giác Pa-xcan để học sinh dễ tìm hệ số (Nếu viết riêng
các hệ số ở vế phải).
3.3. Phương pháp nhóm hạng tử.
Phương pháp chung: Nhóm các hạng tử thích hợp vào cùng một nhóm để xuất
hiện một trong hai dạng đã học: hoặc là xuất hiện nhân tử chung hoặc là xuất
hiện hằng đẳng thức. Khi nhóm ta thường dựa vào mối quan hệ sau:
- Quan hệ giữa các hệ số; giữa các biến của các hạng tử trong bài Toán.
- Thành lập nhóm dựa theo mối quan hệ đó, phải thỏa mãn:
+ Mỗi nhóm đều có thể phân tích được.
+ Sau khi phân tích đa thức thành nhân tử ở mỗi nhóm thì quá trình phân
tích thành nhân tử phải tiếp tục thực hiện được.
3.4.Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp.
Phương pháp chung: Phải biết kết hợp hợp lí giữa các phương pháp nhóm nhiều
hạng tử, đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức. Do đó khi làm học sinh phải
biết nhận xét tổng thể một bài Toán một cách cụ thể, mối quan hệ của các hạng
tử và tìm hướng giải thích hợp.
- Ở phương pháp này đối với học sinh đại trà thường sai lầm ở lỗi: Ngộ nhận
ngay nhân tử chung ở bước đầu tiên sau đó phép toán lại không tiếp tục đưa
được về nhân tử hoặc là phân tích chưa triệt để.
- Kỹ thuật phòng tranh được coi là một trong những kỹ thuật dạy học tích cực
có hiệu quả cao trong tổ chức các hoạt động học cho học sinh. Nó giúp phát huy
tính tích cực, chủ động tham gia và hợp tác của học sinh. Kỹ thuật này cũng có
tính linh hoạt cao. Trong quá trình giảng dạy mà không đủ thời gian chữa hết
các sản phẩm của các nhóm, giáo viên cùng tham gia nhận xét và chữa bài cho
các nhóm cùng học sinh. Điều này giúp giáo viên tiết kiệm được thời gian, đồng
thời khi xem tranh và nhận xét tại chỗ học sinh sẽ có cơ hội học và chỉnh sửa
các lỗi sai ngay tại chỗ. Khi kết thúc tiết học giáo viên chỉ đưa ra nhận xét và
chữa các lỗi sai phổ biến nhất mà các nhóm mắc phải.
- Một biện pháp khác mà giáo viên cần thực hiện trong quá trình sử dụng kỹ
thuật phòng tranh là giáo viên phải giao nhiệm vụ cho học sinh khi đi xem triển
lãm. Nhằm tránh tình trạng học sinh chỉ lướt qua nhìn các tranh chứ không xem
kỹ kết quả bài làm của bạn, giáo viên nên phát cho mỗi học sinh một tờ phiếu
nhận xét các tranh. Học sinh được yêu cầu xem tranh và ghi lại nhận xét, các lỗi
của các sản phẩm để nhận xét sau khi kết thúc hoạt động triển lãm. Điều này
giúp thu hút học sinh vào việc chữa và đánh giá kết quả thực hiện nhiệm vụ của
các học sinh khác trong lớp. Đồng thời, thông qua quá trình đánh giá, nhận xét
đó, học sinh sẽ tự học được cách trình bày và phương pháp áp dụng cho dạng
bài tập đó, giúp học sinh nâng cao hiệu quả giờ học. Việc yêu cầu học sinh tham
gia đánh giá, nhận xét sản phẩm của các nhóm khác cũng giúp làm giảm bớt
nhiệm vụ của giáo viên trong phần kiểm tra, đánh giá kết quả thực hiện nhiệm
9/17

vụ của học sinh và làm tăng tính khách quan, công bằng trong kiểm tra, đánh
giá.
Tôi đã sử dụng kĩ thuật phòng tranh này áp dụng cho hoạt động cá nhân,
hoạt động cặp; hoạt động nhóm đối với lớp học tôi phụ trách.
III. Kết quả một số ví dụ hoạt động nhóm của học sinh về một số phương
pháp cơ bản sách giáo khoa:
1. Phương pháp đặt nhân tử chung.
Ví dụ 1: Phân tích đa thức: 10x(x - y) - 8(y - x)2 thành nhân tử
Kết quả hoạt động của nhóm 1: 10x(x - y) - 8(y - x)2 = 10x(x - y) + 8(x - y)2
= (x - y)[10x + 8(x - y)] = (x - y)[2(5x + 4x - 4y)]
= (x - y)[2(9x - 4y)] = 2(x - y)(9x - 4y)
Học sinh các nhóm đưa ra nhận xét
HS1 nhận xét: Bạn giải đúng.
HS2 nhận xét: Bạn giải sai và chỉ ra điểm sai là: - 8(y - x)2 = + 8(x - y)2
Giải thích : (y - x)2 = (x - y)2, nên - 8(y - x)2 = - 8(y - x) (y - x)
Lời giải đúng của HS3: 10x(x - y) - 8(y - x)2
= 10x(x - y) - 8(x - y)2 = 2(x - y)[5x - 4(x - y)]
= 2(x - y)(5x - 4x + 4y) = 2(x - y)( x + 4y)
2. Phương pháp dùng hằng đẳng thức.
Ví dụ 2 a) Phân tích đa thức x2 - 4x + 4 thành nhân tử.
Giáo viên: Bài toán này có dùng được phương pháp đặt nhân tử chung không?
Vì sao?
Học sinh: Không dùng được phương pháp đặt nhân tử chung vì tất cả các hạng
tử của đa thức không có nhân tử chung. (Giáo viên chiếu nội dung 7 bảy hằng
đẳng thức đáng nhớ theo chiều tổng thành tích).
Giáo viên: Đa thức này có ba hạng tử, em hãy nghĩ xem có thể áp dụng hằng
đẳng thức nào để biến đổi thành tích? (chú ý những đa thức có ba hạng tử).
Học sinh: Đa thức trên có thể viết được dưới dạng bình phương của một hiệu.
Học sinh giải : x2 - 4x + 4 = x2 - 2.x.2 + 22 = (x -2)2.
b) Phân tích đa thức: (x + y)2- (x - y)2 thành nhân tử.
Hướng dẫn:
Giáo viên: Đa thức trên có dạng hằng đẳng thức nào?
Học sinh: Có dạng A2 – B2.
Học sinh 1 làm như sau: (x + y)2- (x - y)2 = (x + y - x - y)(x + y + x - y)
= 0. 2x = 0 (kết quả sai)
Học sinh 2 nhận xét sai lầm của bạn ở đây là: Khi khai triển hằng đẳng thức
A2 – B2 = (A – B) (A + B) thực hiện sai quy tắc dấu ngoặc.
10/17

Lời giải đúng là: (x + y)2- (x - y)2 = [(x + y) - (x - y)][(x + y) + (x - y)]
= (x + y - x + y)(x + y + x - y) = 2y. 2x = 4xy
Giáo viên lưu ý sai lầm của học sinh dễ mắc phải ở dạng toán này là:
- Quy tắc lấy dấu ngoặc, quy tắc bỏ dấu ngoặc, quy tắc dấu.
- Kĩ năng nhận dạng hằng đẳng thức, phép biến đổi.
- Khắc phục và ghi nhớ: HS nhắc lại quy tắc dấu ngoặc và tính chất A = -(-A )
*) Đối với học sinh khá, giỏi: Từ yêu cầu của ví dụ 2b) nếu thay mũ “2” bởi mũ
“3” ta có bài toán sau: Phân tích đa thức: (x + y)3- (x - y)3 thành nhân tử.
Học sinh 3 làm như sau: (x + y)3- (x - y)3 Đặt x + y = a ; x - y = b
Áp dụng hằng đẳng thức: a3- b3 = (a - b)( a2 + ab + b2 )
Ta có: (x + y)3- (x - y)3
=[(x + y) - (x - y)] [(x + y)2 + (x + y)(x - y) + (x - y)2]
= (x + y - x + y) [(x2 + 2xy + y2 + x2 - y2 + x2 - 2xy + y2) = 2y(3x2 + y2)
Từ bài toán: Phân tích đa thức: (x + y)3- (x - y)3 thành nhân tử.
- Đặt x + y = a ; x - y = b, thay mũ “3” bởi mũ “6” ta có bài toán: Phân tích đa
thức a6 - b6 thành nhân tử.
Học sinh 4 làm như sau a6 - b6 = (a3)2 - (b3)2 = (a3 - b3)(a3 + b3)
= (a - b)( a2 + ab + b2) (a + b)( a2 - ab + b2 )
Ví dụ 3: Chứng minh rằng x8n + x4n + 1 chia hết cho x 2n + xn + 1 với mọi số tự
nhiên n.
Hướng dẫn:
- Giáo viên: Để chứng minh x8n + x4n + 1 chia hết cho x2n + xn + 1 với mọi số tự
nhiên n, chứng minh bằng cách nào?
- Học sinh: Phải phân tích đa thức x 8n + x4n + 1 thành nhân tử trong đó có một
nhân tử là x2n + xn + 1.
- Giáo viên: Đa thức x8n + x4n + 1có phân tích được bằng phương pháp đặt nhân
tử chung không? Vì sao?
- Học sinh: Không dùng được phương pháp đặt nhân tử chung vì tất cả các hạng
tử của đa thức không có nhân tử chung.
- Giáo viên: Đa thức này có ba hạng tử, em hãy nghĩ xem có thể áp dụng hằng
đẳng thức nào để biến đổi thành tích? (chú ý những đa thức có ba hạng tử),
- Học sinh: Đa thức x8n + x4n + 1 có thể viết được dưới dạng bình phương của
một tổng.
Tách hạng tử x 4n = 2x4n - x4n để xuất hiện bình phương của một tổng và hiệu
của hai bình phương.
- Học sinh Giải:
11/17

x8n + x4n + 1 = x8n + 2x4n + 1 - x4n
= (x4n + 1)2 - (x2n )2 = (x4n + 1 - x2n ) (x4n + 1+ x2n )
= (x4n - x2n + 1) (x4n + 2x2n + 1 - x2n) = (x4n - x2n + 1) [(x2n + 1)2 - (xn)2]
= (x4n - x2n + 1) (x2n - xn + 1)( x2n + xn + 1).
Vậy đa thức x8n + x4n + 1 chia hết cho x2n + xn + 1 với mọi số tự nhiên n.
Qua một số bài toán trên ta thấy: Kĩ năng nhận dạng hằng đẳng thức qua bài
toán, dựa vào các hạng tử, số mũ của các hạng tử mà sử dụng hằng đẳng thức
cho hợp lí.
3. Phương pháp nhóm hạng tử.
Ví dụ 4: Phân tích đa thức m3 + 4m2 - m - 4 thành nhân tử.
Cách 1: nhóm (m3 + 4m2) và (- m - 4)
Cách 2: nhóm (m3 - m) và (4m2 - 4)
Học sinh 1 giải theo cách 1 như sau:
m3 + 4m2 - m - 4 = (m3 + 4m2) - (m + 4)
= m2(m + 4) - (m + 4) = (m + 4) m2 (kết quả sai)
Sai lầm của học sinh 1 là: bỏ sót hạng tử “-1” sau khi đặt nhân tử chung (Học
sinh 1 hiểu rằng sau khi đặt nhân tử chung (m + 4) thì còn lại số “0”.
Học sinh 2 giải theo cách 2) chưa hoàn chỉnh như sau:
m3 + 4m2 - m - 4 = (m3 - m) + (4m2 - 4) = m(m2 - 1) + 4(m2 - 1)
= (m + 4)( m2 - 1) (kết quả chưa phân tích triệt để)
Giáo viên: Ở nhân tử m2 - 1, em thấy xuất hiện dạng hằng đẳng thức nào?
Học sinh : Hằng đẳng thức : A2 – B2 = (A – B) (A + B).
Ta có m2 - 1 = m2 - 12 = (m - 1)(m + 1).
Lời giải đúng:
Cách 1: m3 + 4m2 - m - 4 = (m3 + 4m2) - (m + 4) = m2(m + 4) - (m + 4)
= (m + 4)( m2 - 1) = (m + 4)(m - 1)(m + 1)
Cách 2: m3 + 4m2 - m - 4 = (m3 - m) + (4m2 - 4) = m(m2 - 1) + 4(m2 - 1)
= (m + 4)( m2 - 1) = (m + 4)(m - 1)(m + 1)
Ví dụ 5: Phân tích đa thức x2 - 4y2 - 2x - 4y thành nhân tử.
Học sinh 1 làm như sau x2 - 4y2 - 2x - 4y = (x2 - 4y2) - (2x - 4y) ( đặt dấu sai)
= [(x2) - (2y)2] - 2(x - 2y) = (x - 2y)(x + 2y) - 2(x - 2y)
= (x - 2y)(x + 2y - 2) (kết quả sai)
Sai lầm của học sinh: x2 - 4y2 - 2x - 4y = (x2 - 4y2) - (2x - 4y)
(đặt dấu sai ở nhóm ngoặc thứ hai, học sinh quên qui tắc về dấu).
Học sinh 2 làm như sau: x2 - 4y2 - 2x - 4y
12/17

(đặt dấu sai)

(sai lầm tiếp theo, phép toán không tiếp tục phân tích được nữa)
Học sinh 3 làm như sau: x2 - 4y2 - 2x - 4y

(đặt đúng dấu)

(phép toán không tiếp tục phân tích được nữa)
Lời giải đúng:
x2 - 4y2 - 2x - 4y = (x2 - 4y2) - (2x + 4y) = [(x2) - (2y)2] - 2(x + 2y)
= (x - 2y)(x + 2y) - 2(x + 2y) = (x + 2y)( x - 2y - 2)
- Ở phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách nhóm hạng tử
thường dẫn đến sai dấu, do đó khi làm cần chú ý cách nhóm các hạng tử và đặt
dấu “-” hoặc dấu “+” ở trước dấu ngoặc mà thực hiện đúng theo quy tắc về dấu,
phải kiểm tra lại cách đặt dấu khi thực hiện nhóm. Giáo viên hướng dẫn học sinh
phải nhận biết được nhân tử chung sau khi nhóm, lưu ý quy tắc về dấu để học
sinh nhận dạng rồi nhóm các hạng tử thích hợp.
4.Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp.
Ví dụ 6: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: xz - yz - x2 + 2xy - y2.
Giải :
-Học sinh giải sai lầm như sau :
xz - yz - x2 + 2xy - y2 = (xz - x2 + 2xy) - (yz + y2)(ngộ nhận ngay nhân tử chung)
= x(z - x + 2y) - y(x + y) ( phép toán không tiếp tục phân tích được).
-Khắc phục: HS khi nhóm các hạng tử để mỗi nhóm xuất hiện nhân tử chung và
chú ý quy tắc về dấu.
Ta có lời giải hoàn chỉnh: xz - yz - x2 + 2xy - y2 = (xz - yz) - (x2 - 2xy + y2)
= z(x - y) - (x - y)2 = z(x - y) - (x - y)(x - y) = (x - y)(z - x + y)
Chương III. Một số biện pháp chung giúp học sinh khi giải Toán.
* Biện pháp 1. Củng cố khắc sâu kiến thức cơ bản.
Khi dạy bất kì một dạng Toán nào cho học sinh cần phải yêu cầu học sinh
nắm chắc kiến thức cơ bản: Khái niệm, tính chất, công thức…
Trong quá trình đưa ra các tính chất, công thức,… giáo viên cần đưa ra
phương pháp giải, giải thích tỉ mỉ các bước kèm các ví dụ cụ thể và bài tập vận
dụng để học sinh hiểu đầy đủ về kiến thức đó mà vận dụng vào giải Toán.
Chú ý: Trong các tính chất mà học sinh tiếp cận cần chỉ ra cho học sinh
những tính chất đặc thù khi áp dụng vào giải từng dạng Toán, vận dụng phù hợp.
* Biện pháp 2. Tìm hiểu nội dung bài Toán.
Trước khi giải Toán cần đọc kĩ đề bài, xem bài tập cho biết gì và yêu cầu
làm gì, những kiến thức cơ bản nào có liên quan phục vụ giải bài Toán. Xác
định rõ những nội dung trên sẽ giúp học sinh có kĩ năng phân tích bài Toán và
giải bài Toán theo những quy trình cần thiết, tìm ra nhiều cách giải hay và tránh
13/17

sai sót.
* Biện pháp 3. Mỗi dạng Toán cần giải nhiều bài để hình thành kĩ năng.
Học sinh cần được giải nhiều dạng bài tập nhưng nếu mỗi dạng các em
được giải với số lượng lớn bài tập thuộc cùng một dạng thì kĩ năng giải dạng
Toán sẽ tốt hơn. Chính vì vậy giáo viên cần tìm nhiều bài tập thuộc một dạng,
đồng thời để gây hứng thú thi đua trong giờ học, giáo viên làm phiếu học tập
gom nhóm học sinh cùng mức độ nhận thức lên gắp thăm bài tập giáo viên đã
chuẩn bị sẵn trên phiếu học tập để học sinh cùng thi đua giải bài tập trong một
thời gian quy định xem như một trò chơi để học sinh thi đua giải tại lớp trong
giờ luyện tập hoặc bài tập về nhà, áp dụng một vài kỹ thuật dạy học như kỹ thuật
mảnh ghép, kỹ thuật phòng tranh,…dù áp dụng phương pháp nào cũng cần phải
kiểm tra đánh giá, khích lệ, động viên học sinh.
* Biện pháp 4: Rèn tính độc lập tự giác khi làm bài.
Sau khi phân dạng bài tập tương tự với dạng bài đã làm yêu cầu từng nhóm
học sinh phải làm và kiểm tra chéo lẫn nhau, đồng thời yêu cầu tất cả các đối
tượng học sinh cùng phải làm tất cả các dạng bài cho từng đối tượng học sinh
(học sinh khá, giỏi, trung bình đều cùng làm cả bài dành cho đối tượng giỏi, khá,
trung bình, theo cách hiểu bài của mình), yêu cầu mỗi nhóm học sinh tự tìm bài
tập cùng dạng rồi đổi chéo đề bài trong các nhóm cho nhau cùng giải thi trong
thời gian quy định rồi chấm chữa chéo giữa các nhóm.Học sinh phải làm một
cách tự giác không được chép của nhau và không làm chi...