BẤT ĐẲNG THỨC
Bài 1:(1, 0 điểm)
Cho hai số a,b khác 0 thoả mãn 2a2 +
= 4
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = ab + 2018
HD: Từ 2a2 +
+
= 4 ( (ab)2 = - 8a4 + 16a2 – 4 = 4 – 8(a4 – 2a2 +1) ≤ 4
-2 ≤ ab ≤ 2
2016 ≤ S ≤ 2020
MinS = 2016 ( ab = -2 và a2 = 1 ( a = ± 1 , b =
2
Câu 2:
Cho x, y thỏa mãn:
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
.


ĐK:


x > y

x < y



thỏa mãn



MinB = 9 Khi x = y = -1


ĐK:

(





(vì
>0)
( x = y


MinB = 9 Khi x = y = -1
Câu 3:
Cho các số dơng x, y, z thỏa mãn xyz -

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = (x+y)(x+z)

Cách 1: Vì xyz -
=> xyz(x+y+z) = 16
P = (x+y)(x+z) = x2 +xy + xz + yz = x(x+y+z) + yz
áp dụng BĐT Côsy cho hai số thực dơng là x(x+y+z) và yz ta có
P = (x+y)(x+z) = x(x+y+z) + yz
; dấu đẳng thức xẩy ra khi
x(x+y+z) = yz .Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 8
Cách 2: Vì

P = (x+y)(x+z) = x2 +xy + xz + yz = x(x+y+z) + yz =

áp dụng BĐT Côsy cho hai số thực dơng là
và yz ta có
P =

; dấu đẳng thức xẩy ra khi

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 8
Bài 4:(1,0 điểm) Gọi
là hai nghiệm của phương trình:

(m là tham số).
Chứng minh rằng :



HD: PT :
(1)

+

+ PT (1) có hai nghiệm



; Lập bảng xét dấu
(*)

+Với đ/k (*), áp dụng đ/l vi ét:





+ Với
thì
. Suy ra

Vì

. Dấu “=” xảy ra khi
(tmđk (*))
dVậy :
(đpcm)

Bài 5:(1,0 điểm)
Cho x, y >0 và
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:


HD: Vi
; Ta có :

(Bdt Cô si)



Áp dụng BÐT (*) v i a =
; b = 2xy ; ta có:

(1)
Mặt khác :
(2)




[Vì x, y >0 và
];
khi
d



Bài 6: Cho a, b ,c là các số không âm chứng minh rằng (a+b)(b+c)(c+a)
8abc
Giải:
Cách 1:Dùng bất đẳng thức phụ:

Tacó
;
;









(a+b)(b+c)(c+a)
8abc
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c
VËy

Bài 7: Cho a>b>c>0 và
chứng minh rằng

Giải:
Do a,b,c đối xứng ,giả sử a
b
c


áp dụng BĐT Trê- bư-sép ta có

=
=

Vậy
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=

Bài 8: Cho a,b,c,d>0 và abcd =1 .Chứng minh rằng :


Giải:
Ta có


Do abcd =1 nên cd =
Ta có
(1) Mặt khác:
=(ab+cd)+(ac+bd)+(bc+ad)
=
= 6 (2) Cộng (1), (2) ta được điều cần chứng minh.
Bài 9: Cho 4 số a,b,c,d bất kỳ chứng minh rằng:

Giải:
Ta có: