ĐỀ THI OLYMPIC
MÔN: TOÁN – LỚP 7
NĂM HỌC 2022-2023
(Thời gian làm bài 120 phút)

ĐỀ CHÍNH THỨC
Bài 1: (5,0 điểm).
1. Thực hiện phép tính sau:

2. Cho

là số thỏa mãn điều kiện

Tính giá trị của biểu thức
Bài 2: (4,0 điểm).
1. Tìm các số

biết
và

2. Tìm các cặp số nguyên

thỏa mãn điều kiện

Bài 3: (4,0 điểm).
1. Một giá sách có tổng số 51 quyển sách được xếp vào 3 ngăn. Nếu ngăn
thứ nhất xếp thêm 1 quyển, ngăn thứ hai bớt đi 5 quyển và ngăn thứ ba xếp thêm 1
quyển thì số sách ở mỗi ngăn tỉ lệ nghịch với 15;20;12. Tìm số sách ở mỗi ngăn lúc
đầu.
2. Cho đa thức
với a, b, c ,d   . Biết Q(x) chia
hết cho 5 với mọi x   . Chứng tỏ các hệ số a, b, c, d đều chia hết cho 5.
Bài 4: (6,0 điểm). Cho ABC vuông tại A (AB < AC). M là trung điểm của BC,
Lấy D thuộc tia đối của tia MA sao cho MD = MA. Kẻ BI  AD, CK  AD (I, K
thuộc AD).
a. Chứng minh BI = CK.
b. Kẻ AH  BC (H thuộc BC), MN  BD (N thuộc BD). Chứng minh các
đường thẳng CK, AH, MN đồng quy.
c. Chứng minh N là trung điểm của BD.
d. Chứng minh BC – AB > AC - AH.
Bài 5: (1,0 điểm) Tìm các số tự nhiên a, b thỏa mãn:
……………………..Hết………………..

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI OLYMPIC
MÔN TOÁN LỚP 7
NĂM HỌC 2022-2023

Bài 1 (5,0 điểm)
Câu

Đáp án

Điểm
1,0 đ

a
(2,0
điểm)
0,5 đ
0,5 đ

b
(2,0
điểm)

0,5 đ

0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
2
(1,0 đ)

0,5 đ
Mà
Suy ra

0,25 đ

Thay vào biểu thức M ta được

0,25 đ

= 2023
Bài 2 (4,0 điểm)
1
(2,0
điểm)

Ta có

=>

=81=>

0,5 đ

=27 => x=3.

Khi đó

0,5 đ

=1.

Suy ra :

0,75 đ

=1 => 3y+2=4 => y=
=1 => 4z-2 =3 => z=

0,25 đ

Kết luận x=3 ; y= ; z= .
2
(2,0
điểm)

1,0 đ

0,25 đ
Mà 3y+2 là số chia cho 3 dư 2  3 y  2   1;2; 4;8 .

0,5 đ

Ta có bảng sau:

3y+2
3x-5
y
x

-4
-2
-2
1

-1
-8
-1
-1

Vậy x; y  1; 2,  1; 1, 3;0, 2;2

2
4
0
3

8
1
2
2
0,25 đ

Bài 3 (2,0 điểm)
1

Gọi số sách ở ngăn 1, ngăn 2, ngăn 3 lúc đầu lần lượt là: x,y,z

0,25 đ

(2,0
điểm)

Do tổng số sách là 51 quyển nên ta có x + y + z = 51

0,25 đ

Khi ngăn thứ nhất thêm 1 quyển, ngăn thứ hai bớt đi 5 quyển và ngăn 0,5 đ
thứ ba xếp thêm 1 quyển thì số sách ở mỗi ngăn tỉ lệ nghịch với
15;20;12 nên ta có 15(x+1) = 20(y-5) = 12(z+1)
0,5 đ

0,25 đ
Vậy số sách lúc đầu ở ngăn 1, ngăn 2, ngăn 3 lần lượt là: 15 quyển,17 0,25 đ
quyển, 19 quyển
2
(2,0
điểm)

Vì Q(x)  5 với mọi x  

0,25 đ

Với x = 0, ta có Q 0  d 5
Với x = 1, ta có Q(1)= a +b+c+d 5
mà d 5=> a + b +c 5 (1)

0,25 đ

Với x = -1, ta có Q(-1) = -a +b-c +d 5
mà d 5 =>  a + b – c 5 (2)

0,25 đ

Từ (1) và (2) suy ra
Q 1  Q  1 2b 5 mà (2 ; 5) =1 nên b 5
Q(1) – Q(-1)= 2(a +c) 5

0,5 đ

mà (2 ; 5) =1 nên a+c 5 (3)

Với x = 2 , ta có Q (2) = 8a + 4b +2c+d 5
hay 6a +2 (a + c) + 4b + d 5
Mà d 5 , a + c 5, b 5 nên 6a 5 mà (6; 5) = 1 => a 5
Từ (3) suy ra c 5

0,5 đ

Vậy

0,25 đ
Bài 4 (6,0 điểm)

Vẽ hình đúng đến câu a
a
(1,5
điểm)

0,25đ

A

C
I
M
K

H
B

N

D

O

b
(1,75
điểm)

c
(1,5
điểm)

C/minh: IBM = KCM (ch-gn)
1,5 đ
=> BI=CK
Chứng minh được AMC = DMB (c-g-c)
1,75 đ
=>
=> AC//BD
Gọi giao điểm của AH và CK là O.
Xét ACO có: AK và CH là các đường cao, mà chúng cắt nhau ở
M => M là trực tâm của ACO => OM  AC (1).
Mặt khác có MN  BD (gt), mà BD//AC (cmt) => MN  AC
(2).
Từ (1) và (2) => O, M, N thẳng hàng.
Suy ra ba đường CK, AH, MN, đồng quy tại O
Chứng minh được ABD = BAC (c-g-c)
1,5 đ
Suy ra BC = AD
=> BM = MD => BMD cân tại M
=> đường cao MN đồng thời là đường trung tuyến của BMD
=> N là trung điểm của BD.

d
(1,0
điểm)

A

E

1,0 đ

C

2
1

F
H
B

Trên BC lấy điểm F sao cho BF = AB.
Thì CF = BC - BF = BC – AB.
Trên AC lấy điểm E sao cho AE = AH
thì CE = AC – AE = AC – AH.
Ta có
(tam giác ABC vuông tại A)
(tam giác AHF vuông tại H)
Mà
Dễ thấy
=>

(tam giác ABF cân tại B) Nên
( c-g-c)

Suy ra tam giác EFC vuông tại E nên FC > EC.
=> BC – AB > AC – AH (đpcm)

Bài 5 (1,0 điểm)

Mà

1,0 đ

suy ra

Mặt khác

là số chính phương nên
hoặc

Nếu

thì

(Do

)

Nếu

(không thỏa mãn)

Vậy a = 2023 và b = 5 thỏa mãn điều kiện bài toán.
- Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa
- Học sinh vẽ sai hình thì không cho điểm bài hình